Équation de cercle

L'objectif de cette activité est de déterminer une équation d'un cercle dans le plan après avoir étudié un cas particulier.

Soit  `(\text{O};\veci;\vecj)`  un repère orthonormé du plan.

Un cas particulier

On considère  \((C_1)\)  le cercle de centre  `\text{O}`  et de rayon \(5\) . 
1. Justifier que le point  \(\text{B}(5;0)\)  appartient au cercle  \((C_1)\) . 
2. Déterminer les coordonnées d'un autre point du cercle  \((C_1)\) . 
3. Le point  \(\text D\left( \dfrac{5}{2};\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\right)\) appartient-il au cercle  \((C_1)\)  ?
4. Démontrer que, si un point  \(\text M\) appartient à   \((C_1)\)  alors ses coordonnées \((x;y)\) vérifient \(x^2+y^2=25\) . La réciproque est vraie aussi : si deux réels \(x\) et \(y\) vérifient  \(x^2+y^2=25\)   alors ce sont les coordonnées d'un point du cercle \((C_1)\) .

Cas général

On considère un cercle  \((C)\)  de centre  `\text{A}(x_\text{A};y_\text{A})`  et de rayon \(R>0\) . Soit  \(\text{M}(x;y)\)  un point du cercle  \((C)\) .
1. Justifier que  \(\text{AM}^2=R^2\) .  
2. Donner les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{AM}}\)  puis exprimer \(\text{AM}^2\)  en fonction de  \(x_\text{A},y_\text{A},x\)  et  \(y\)  dans l'équation   \(\text{AM}^2=R^2\) . 
3. Démontrer que, si le point  \(\text M(x;y)\) appartient à \((C)\) , alors il existe trois réels   \(a,b\) , \(c\) , non simultanément nuls, tels que \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) . Préciser l'expression de  \(a,b\) , \(c\)   en fonction de \(x_A,y_A,R\) .
L'équation ainsi obtenue s'appelle équation cartésienne du cercle  \((C)\) .
4. Donner les expressions de  \(x_A,y_A,R\) en fonction de \(a,b\) , \(c\)   puis traduire la condition  \(R>0\)   en une condition sur les trois réels \(a,b\) , \(c\) .

Applications

1. Donner l'équation cartésienne du cercle  \((C_2)\)  de centre  `\text{G}(3;-2)`  et de rayon \(4\) .
2. Dire si les équations suivantes sont celles de cercles et, si oui, en préciser le centre et le rayon.
    a.  \(x^2+y^2-2x+4y-20=0\)  
    b.  \(x^2+y^2+x=0\)  
    c.  \(x^2+y^2-2x+4y+14=0\)